拉格朗日中值定理是极限的一种重要的确定方法，这个定理源于拉格朗日的证明理论。它的基本思想是：将一个定积分中函数分解为一些若干小的定积分，每一个小的定积分都有一个临界值，如果这些临界值在极限过程中都保持不变，则定积分的极限就是各个临界值的和乘以积分间隔的乘积。
拉格朗日中值定理的推导如下：假设函数f（x）在［a，b］上连续，函数两端（a，b）点值也连续，且f（x）在［a，b］上有偏导数，如果Δx 为任意增量，x＋Δx 为x的任意点，那么f（x＋Δx）的值可以近似为f（x）加上f（x）的一阶微分乘以Δx。
有限区间［a，b］上函数f（x）的积分定义为：
设Δx＝（b－a）/n 则积分可以表述为下式：
f（a＋nΔx）/nΔx≤f（x1）
f（x1）/Δx≤f（x2）
?
f（xn-1）/Δf（xn）≤f（b）
由此得出拉格朗日中值定理：当n很大时，极限
limn→∞[f（a＋nΔx）/nΔx + ...+f（b）] = ∫ba f（x）dx
具体的求极限例题的使用方法为：将被极限的积分拆分为 n 个小的积分，计算此时每个积分段的函数值，将这 n 个函数取极限，再对函数值所乘的每个 Δx 的乘积取极限，两个极限乘积，即可获得积分的极限值。
举个例子来讲解这个方法，求极限 ∫1x2eｘ/3dx。
可将积分拆分为 n 个小的积分，然后计算每个小积分的积分值。
设第 k 个积分为 f（x1），则根据上式计算其值：
f（x1）= (eX1/3 - eX0/3)?Δx
取极限过程如下：
当 n 值很大时，eX1/3 与 eX0/3 趋近相等，对于 eX1/3 与 eX0/3 的极限取值为 e∞/3，
当 n 很大时，Δx 趋近于 0，对于Δx 的极限值取值为 0。
取极限之后，可以计算出 ∫1x2eｘ/3dx 的极限值为 e∞/3?0＝ 0。
