[一、阿尔法-斯宾塞不等式（Arithmetic-Geometric Mean Inequality）]
阿尔法-斯宾塞不等式是指有n个正数：a1,a2,a3,...,an，则将它们分俩组：(a1,a2,...,am) 和(am[sup]+[/sup]1,am[sup]+[/sup]2,...,an) ，公式如下：
(a1*a2*...*am)^(1/m)<=(a1+a2+...+am)/m <=(a1*a2*...*am[sup]+[/sup]1*am[sup]+[/sup]2*...*an)^(1/m)
该不等式是由阿尔法和斯宾塞提出的，阿尔法认为在两个正数中，谁的平方根较大就能使其平均结果变的更大，而斯宾塞则将此推广到n个正数，在n个正数的平均中，只有当它们全部的平方根都较大时，才能使其平均结果变的更大。
[二、林肯-拉姆伯特不等式（L’Hospital-Lambert inequality）]
林肯-拉姆伯特不等式是指有n个正数：a1,a2,a3,...,an，则将它们分俩组：(a1,a2,...,am) 和(am[sup]+[/sup]1,am[sup]+[/sup]2,...,an) ，公式如下：
a1+a2+...+am < (a1*a2*...*am[sup]+[/sup]1*am[sup]+[/sup]2*...*an)^(1/m) < a1*a2*...*an
该不等式是1720年由林肯和拉姆伯特所提出，也就是强调在n个正数的平均中，只有当它们全部的乘积较小时，才能使平均结果变的更大，这个不等式与阿尔法-斯宾塞不等式相反，是历史上最重要的数学不等式之一。
[三、汤普森不等式（Thomson's inequality）]
汤普森不等式是指有n个正数：a1,a2,a3,...,an，则有
(a1*a2*...*am)^(1/m) < (a1+a2+...+am)/m < (am[sup]+[/sup]1 +am[sup]+[/sup]2 +...+an)/n < (a1*a2*...*am[sup]+[/sup]1*am[sup]+[/sup]2*...*an)^(1/n)
汤普森不等式是指有n个正数：a1,a2,a3,...,an，则将它们分俩组：(a1,a2,...,am) 和(am[sup]+[/sup]1,am[sup]+[/sup]2,...,an) ，表明当一个组的数的乘积很小而另一组的数的和很大时，它们的均值的大小关系取决于两者的占比。
本不等式提出于1884号，是20世纪英国著名数学家汤普森所推出，因为它可以展示出向量空间中不等式的有趣构态，因此有时也被称为汤普森图。
[四、威廉斯不等式（Williams's inequality）]
威廉斯不等式是指有n个正数：a1,a2,a3,...,an，当 m=1 时有
(a1*a2*...*am)^(1/m) < (a1+a2+...+am)/m < (am[sup]+[/sup]1 +am[sup]+[/sup]2 +...+an)/n < (a1*a2*...*am[sup]+[/sup]1*am[sup]+[/sup]2*...*an)^(1/n)
该不等式是1917年由美国数学家威廉斯所提出，它表明在一个正数的和变得足够大时，其总乘积也会变得很大，同时还可以表明那些几乎相等的正数的均值的大小与它们的比例有关。