二元函数可微的定义

更新时间：2026-05-14 05:28:39

对于二元函数 $f(x,y)$，若对于固定的 $x,y$，增量 $\Delta f$ 可表示为：
$$\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
其中 $\Delta x,\Delta y$ 是自变量的增量，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，若存在实数 $A,B$，使得：
$$\Delta f=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2}$$
其中 $\alpha\to0$，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，且 $A,B$ 分别为 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 对 $x,y$ 的偏导数。这也称为偏微分存在且连续。
若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，则 $f(x,y)$ 在该点连续。但对于连续函数却不一定可微。例如 $f(x,y)=|x|$ 在点 $(0,0)$ 处连续但不可微。

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