傅里叶逆变换怎么求

更新时间:2026-07-24 20:21:42 栏目: 育儿问答

傅里叶逆变换是使用傅立叶变换在时域去求取一个函数在频域上的分解，然后在逆变换给定函数在时域中取值。
逆变换定义为：，即，
其中：
（i） X(ω) 代表原函数 f(t) 的傅里叶变换。（ii） x( t ) 代表从 X(ω) 中求取的函数的逆变换。（iii）代表积分的变换符号。
例如，考虑一个信号f(t):
$$
f(t)=\begin{cases}
2t^2 & 0 \leq t \leq 2 \\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}
$$
先将此函数傅里叶变换：
$$
X(ω)=\frac{1}{3}e^{-6ω}-\frac{2}{3}e^{2ω}-\frac{1}{3} (0 ≤ ω ≤ 4)
$$
现在我们可以用上式求取f(t)的傅里叶逆变换：
$$
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{3}e^{-6ω}-\frac{2}{3}e^{2ω}-\frac{1}{3}e^{iwt}dω
$$
把变量替换为x，变为：
$$
x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{3}e^{-6(wt-x)}-\frac{2}{3}e^{2(wt-x)}-\frac{1}{3}e^{x}dx
$$
使用积分变换法，得到最终结果：
$$
x(t)= \begin{cases}
2t^2 & 0 \leq t \leq 2 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
因此，我们可以得出结论：X(ω) 的傅里叶逆变换是 f(t)。

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