伴随矩阵的计算公式

发布时间：01-04

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伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它的主要特征是它的元素和原始矩阵的元素的位置是相反的，也就是说伴随矩阵的每一行的元素都是原始矩阵的每一列的元素的负值。
伴随矩阵的计算公式：
设A=(a_{ij})_{n\\times n}为一个n阶方阵，其伴随矩阵A'=(a'_{ij})_{n\\times n}，则a'_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|，其中M_{ij}为A的代数余子式。
证明：
由于A'=(a'_{ij})_{n\\times n}是A的伴随矩阵，则有A·A'=A'·A=|A| E，其中E为n阶单位矩阵，|A|为A的行列式，即
\\begin{aligned} \\left(\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}a'_{kj}\\right)_{n\\times n}&=\\left(\\sum_{k=1}^{n} a'_{ik}a_{kj}\\right)_{n\\times n}\\\\ &=|A|\\left(e_{ij}\\right)_{n\\times n} \\end{aligned}
联立上式可得
\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}a'_{kj}=|A|e_{ij}
而e_{ij}=(-1)^{i+j}，所以
\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}a'_{kj}=(-1)^{i+j}|A|
而有a'_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|，所以
\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}a'_{kj}=\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(-1)^{i+j}|M_{ij}|
又由于|M_{ij}|=\\left| \\frac{\\partial(|A|)}{\\partial a_{ij}} \\right|，
\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(-1)^{i+j}|M_{ij}|=\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(-1)^{i+j}\\frac{\\partial(|A|)}{\\partial a_{ij}}
又联立上式可得
\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}a'_{kj}=|A|e_{ij}=\\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(-1)^{i+j}\\frac{\\partial(|A|)}{\\partial a_{ij}}
所以a'_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|，即伴随矩阵的计算公式。
因此，伴随矩阵的计算公式为：a'_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|，其中M_{ij}为A的代数余子式。